О методологии обучения высшей алгебре будущих учителей математики
On the Methodology of Teaching Higher Algebra to Future Mathematics Teachers
 
EDN: MQQOYD; УДК: 37.016:511:378
 
Полный текст статьи
 
Вечтомов Евгений Михайлович
Vechtomov Evgeniy Mikhailovich
 
доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Института точных наук и информационных технологий, Сыктывкарский государственный университет им. Питирима Сорокина. Россия, г. Сыктывкар. E-mail: vecht@mail.ru
Doctor of Physics and Mathematics, professor, Chief Researcher of the Institute of Exact Sciences аnd Information Technologies, Pitirim Sorokin Syktyvkar State University. Russia, Syktyvkar. E-mail: vecht@mail.ru
 
Аннотация. В статье рассматриваются и анализируются методологические и методические вопросы обучения высшей алгебре в системе подготовки учителей математики. В современном мире вопросы обучения математике в вузе и средней школе актуальны как никогда. Для России качественное математическое образование есть основа ее суверенитета. Цель нашей работы – обратить внимание вузовских преподавателей математики и студентов математических специальностей на важнейшие дидактические и методологические принципы и положения при изучении высшей алгебры, обеспечивающие понимание алгебраического материала. Обсуждаются принципы полноценности, целостности, содержательных связей курса высшей алгебры с другими математическими курсами. В дидактике вузовской алгебры выделены структурный и задачный подходы, принцип гармонии, аксиоматический метод, фундаментальные идеи изоморфизма, координатизации и факторизации. Отмечена роль вводного курса алгебры как своеобразного «мостика» между школьным курсом алгебры и вузовским курсом высшей алгебры. Такая преемственность окажет благотворное влияние и на успешное решение задач элементарной алгебры, что так важно для учителя математики. Особенно значимыми представляются задачный и структурный подходы в обучении студентов высшей алгебре. Подчеркивается важность разработки циклов взаимосвязанных задач и упражнений по каждой теме курса. При решении каждой конкретной математической задачи необходимо стремиться выявить скрытую в ней абстрактную структуру и использовать информацию об этой структуре для решения задачи. А для этого требуется знание фундаментальных математических структур, их свойств и основных моделей. В конце статьи разобраны примеры учебно-исследовательских и научно-исследовательских задач, иллюстрирующих структурный подход и значимость базовых логико-математических идей и методов. Реализация этих положений, взятых в совокупности, есть путь к пониманию и качественному усвоению алгебраических знаний. Обосновываются значимость и необходимость алгебраического образования в подготовке современного учителя математики.
 
Abstract. The article examines and analyzes methodological questions and questions of teaching method in the instruction of higher algebra within the system of training mathematics teachers. In today's world, the questions of teaching mathematics at university and in secondary school are more relevant than ever. For Russia, high-quality mathematical education is the foundation of its sovereignty. The aim of our work is to draw the attention of university mathematics lecturers and of students of mathematical specialties to the most important didactic and methodological principles and propositions in the study of higher algebra, which ensure an understanding of algebraic material. The article discusses the principles of completeness, of integrity, and of the substantive connections of the higher algebra course with other mathematical courses. Within the didactics of university algebra, the structural and problem-based approaches, the principle of harmony, the axiomatic method, and the fundamental ideas of isomorphism, coordinatization, and factorization are singled out. The role of the introductory algebra course is noted as a kind of "bridge" between the school algebra course and the university course of higher algebra. Such continuity will also have a beneficial effect on the successful solution of problems in elementary algebra, which is so important for the mathematics teacher. The problem-based and structural approaches to teaching students higher algebra are regarded as particularly significant. The importance of developing cycles of interrelated problems and exercises for each topic of the course is emphasized. In solving each specific mathematical problem, one must strive to identify the abstract structure hidden within it and to use the information about this structure to solve the problem. This, in turn, requires a knowledge of the fundamental mathematical structures, their properties, and their basic models. At the end of the article, examples of educational-research and scholarly-research problems are analyzed that illustrate the structural approach and the significance of basic logical and mathematical ideas and methods. The implementation of these propositions, taken together, is the path to the understanding and high-quality assimilation of algebraic knowledge. The significance and necessity of algebraic education in the training of the modern mathematics teacher are substantiated.
 
Ключевые слова: курс высшей алгебры, методология и дидактика курса, алгебраическая подготовка учителей математики.
Keywords: higher algebra course, methodology and didactics of the course, algebraic training of mathematics teachers.
 
Список литературы
  1. Вечтомов Е. М. Изучение начал теории групп // Труды Международной научной конференции «Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство». Плоцк (Польша), 2010. С. 91–100.
  2. Вечтомов Е. М. Натуральный ряд // Математика в высшем образовании. 2012. Вып. 10. С. 15–34.
  3. Вечтомов Е. М. Философия математики. 2-е изд. М. : Юрайт, 2018. 317 с.
  4. Вечтомов Е. М. Математика: основные математические структуры. 2-е изд. М. : Юрайт, 2018. 296 с.
  5. Вечтомов Е. М. Нужно ли обучать высшей математике будущих учителей математики? // Настоящее и будущее физико-математического образования : материалы V Всерос. науч.-практ. конф. Киров : Кировский физ.-мат. лицей ; Радуга-ПРЕСС, 2018. С. 10–14.
  6. Вечтомов Е. М. Студенческий учебно-исследовательский семинар по алгебре // Математический вестник Вятского государственного университета. 2021. № 3. С. 36–45.
  7. Вечтомов Е. М. Кировской научной алгебраической школе – 30 лет // Материалы Всероссийской научной конференции «Город на Вятке: история, культура, люди (К 650-летию Хлынова – Вятки – Кирова)». Киров : КОУНБ им. А. И. Герцена, 2024. С. 141–147.
  8. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н., Широков Д. В. Курс теории чисел. М. : Грифон, 2026. 304 с.
  9. Вечтомов Е. М., Петров А. А. Функциональная алгебра и полукольца. Полукольца с идемпотентным умножением. СПб. : Лань, 2022. 180 с.
  10. Вечтомов Е. М., Сидоров В. В. Абстрактная алгебра. Базовый курс. Киров : Радуга-ПРЕСС, 2014. 260 с.
  11. Вечтомов Е. М., Широков Д. В. Математика: логика, множества, комбинаторика. 2-е изд. М. : Юрайт, 2018. 243 с.
  12. Вечтомов Е. М., Широков Д. В. Упорядоченные множества и решетки. СПб. : Лань, 2024. 248 с.
  13. Вечтомов Е. М., Чермных В. В. Изучение алгебраической структуры // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. 2012. № 1 (3). С. 41–48.
  14. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. М. : Высш. шк., 1979. 559 с.
  15. Куликов Л. Я., Москаленко А. И., Фомин А. А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М. : Просвещение, 1993. 288 с.
  16. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. Изд. девятое. М. : Наука, 1968. 432 с.
  17. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. Изд. второе. М. : Наука, 1973. 400 с.
  18. Лубягина Е. Н., Вечтомов Е. М. Линейная алгебра. 2-е изд. М. : Юрайт, 2019. 150 с.
  19. Сотникова О. А. Целостность вузовского курса алгебры как методологическая основа его понимания. Архангельск : Поморский университет, 2004. 356 с.
  20. Сотникова О. А. Методологический подход к изучению теоретического материала курса алгебры педагогического вуза. 2021. Елец : Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, 2021. 177 с.
  21. Учебные программы блока дисциплин «Алгебра», «Теория чисел», «Числовые системы» и кафедральных дисциплин (кафедра алгебры) / сост. Е. М. Вечтомов. Киров : Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2002. 24 с.
References
  1. Vechtomov E. M. Izuchenie nachal teorii grupp [The Study of the Elements of Group Theory] // Trudy Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii "Obrazovanie, nauka i ekonomika v vuzah. Integraciya v mezhdunarodnoe obrazovatel'noe prostranstvo" [Proceedings of the International Scientific Conference "Education, Science and Economics in Universities. Integration into the International Educational Space"]. Plock (Poland), 2010. Pp. 91–100.
  2. Vechtomov E. M. Natural'nyj ryad [The Natural Number Sequence] // Matematika v vysshem obrazovanii – Mathematics in Higher Education. 2012. Is. 10. Pp. 15–34.
  3. Vechtomov E. M. Filosofiya matematiki [The Philosophy of Mathematics]. 2nd ed. M., Yurajt, 2018. 317 p.
  4. Vechtomov E. M. Matematika: osnovnye matematicheskie struktury [Mathematics: The Basic Mathematical Structures]. 2nd ed. M., Yurajt, 2018. 296 p.
  5. Vechtomov E. M. Nuzhno li obuchat' vysshej matematike budushchih uchitelej matematiki? [Should Future Mathematics Teachers Be Taught Higher Mathematics?] // Nastoyashchee i budushchee fiziko-matematicheskogo obrazovaniya : materialy V Vseros. nauch.-prakt. konf. [The Present and Future of Physics and Mathematics Education : Proceedings of the 5th All-Russian Scientific-Practical Conference]. Kirov, Kirovskij fiz.-mat. licej ; Raduga-PRESS, 2018. Pp. 10–14.
  6. Vechtomov E. M. Studencheskij uchebno-issledovatel'skij seminar po algebre [The Student Educational-Research Seminar in Algebra] // Matematicheskij vestnik Vyatskogo gosudarstvennogo universiteta – Mathematical Bulletin of Vyatka State University. 2021. No. 3. Pp. 36–45.
  7. Vechtomov E. M. Kirovskoj nauchnoj algebraicheskoj shkole – 30 let [The Kirov Scientific School of Algebra Turns 30] // Materialy Vserossijskoj nauchnoj konferencii "Gorod na Vyatke: istoriya, kul'tura, lyudi (K 650-letiyu Hlynova – Vyatki – Kirova)" [Proceedings of the All-Russian Scientific Conference "A City on the Vyatka: History, Culture, People (On the 650th Anniversary of Khlynov – Vyatka – Kirov)"]. Kirov, KOUNB im. A. I. Gercena, 2024. Pp. 141–147.
  8. Vechtomov E. M., Lubyagina E. N., Shirokov D. V. Kurs teorii chisel [A Course in Number Theory]. M., Grifon, 2026. 304 p.
  9. Vechtomov E. M., Petrov A. A. Funkcional'naya algebra i polukol'ca. Polukol'ca s idempotentnym umnozheniem [Functional Algebra and Semirings. Semirings with Idempotent Multiplication]. SPb., Lan', 2022. 180 p.
  10. Vechtomov E. M., Sidorov V. V. Abstraktnaya algebra. Bazovyj kurs [Abstract Algebra. A Basic Course]. Kirov, Raduga-PRESS, 2014. 260 p.
  11. Vechtomov E. M., Shirokov D. V. Matematika: logika, mnozhestva, kombinatorika [Mathematics: Logic, Sets, Combinatorics]. 2nd ed. M., Yurajt, 2018. 243 p.
  12. Vechtomov E. M., Shirokov D. V. Uporyadochennye mnozhestva i reshetki [Ordered Sets and Lattices]. SPb., Lan', 2024. 248 p.
  13. Vechtomov E. M., Chermnyh V. V. Izuchenie algebraicheskoj struktury [The Study of Algebraic Structure] // Vestnik Vyatskogo gosudarstvennogo gumanitarnogo universiteta – Herald of Vyatka State University of Humanities. 2012. No. 1 (3). Pp. 41–48.
  14. Kulikov L. Ya. Algebra i teoriya chisel [Algebra and Number Theory]. M., Vysshaya shkola (Higher School), 1979. 559 p.
  15. Kulikov L. Ya., Moskalenko A. I., Fomin A. A. Sbornik zadach po algebre i teorii chisel [A Collection of Problems in Algebra and Number Theory]. M., Prosveshchenie (Enlightenment), 1993. 288 p.
  16. Kurosh A. G. Kurs vysshej algebry [A Course in Higher Algebra]. 9th ed. M., Nauka (Sciences), 1968. 432 p.
  17. Kurosh A. G. Lekcii po obshchej algebre [Lectures on General Algebra]. 2nd ed. M., Nauka (Sciences), 1973. 400 p.
  18. Lubyagina E. N., Vechtomov E. M. Linejnaya algebra [Linear Algebra]. 2nd ed. M., Yurajt, 2019. 150 p.
  19. Sotnikova O. A. Celostnost' vuzovskogo kursa algebry kak metodologicheskaya osnova ego ponimaniya [The Integrity of the University Algebra Course as a Methodological Basis for Understanding It]. Arhangel'sk, Pomorskij universitet, 2004. 356 p.
  20. Sotnikova O. A. Metodologicheskij podhod k izucheniyu teoreticheskogo materiala kursa algebry pedagogicheskogo vuza [A Methodological Approach to the Study of the Theoretical Material of the Algebra Course at a Pedagogical University]. Elec, Eleckij gosudarstvennyj universitet im. I. A. Bunina, 2021. 177 p.
  21. Uchebnye programmy bloka disciplin "Algebra", "Teoriya chisel", "Chislovye sistemy" i kafedral'nyh disciplin (kafedra algebry) [Curricula for the Block of Disciplines "Algebra", "Number Theory", "Number Systems" and Departmental Disciplines (Department of Algebra)] / comp. by E. M. Vechtomov. Kirov, Izd-vo Vyatskogo gos. ped. un-ta, 2002. 24 p.
      Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License
      Скачать JATS